Question

Решить любым способом
x+\sqrt{x^2-64} =\frac{2(x+8)}{(x-8)^2}

Answer 1

$x+\sqrt{x^2-64} =\frac{2(x+8)}{(x-8)^2} \\\sqrt{x^2-64}=\frac{2(x+8)}{(x-8)^2}-x$
одз:
$x^2-64\geq 0 \\\frac{2(x+8)}{(x-8)^2}-x\geq 0$
решаем:
$x^2-64=(\frac{2(x+8)}{(x-8)^2}-x)^2 \\x^2-64= (\frac{2(x+8)}{(x-8)^2})^2-2x*(\frac{2(x+8)}{(x-8)^2})+x^2 \\ (\frac{2(x+8)}{(x-8)^2})^2- \frac{4x(x+8)}{(x-8)^2} +64=0 \\4( \frac{(x+8)}{(x-8)^2})^2-4x*\frac{(x+8)}{(x-8)^2}+64=0 \\( \frac{(x+8)}{(x-8)^2})^2-x*\frac{(x+8)}{(x-8)^2}+16=0 \\(x+8)^2-x(x+8)(x-8)^2+16(x-8)^4=0$
раскроем скобки и приведем подобные:
$(x+8)^2-x(x+8)(x-8)^2+16(x-8)^4=x^2+16x+64-\\x(x-8)(x^2-64)+16(x-8)(x-8)^3=x^2+16x+64-\\(x^2-8x)(x^2-64)+16(x-8)(x^3-24x^2+192x-512)=\\=x^2+16x+64-x^4+64x^2+8x^3-512x+16(x^4-24x^3+192x^2-\\512x-8x^3+192x^2-1536x+4096)=-x^4+8x^3+65x^2-496x+64\\+16 x^4 - 512 x^3 + 6144 x^2 - 32768 x + 65536=\\=15 x^4 - 504 x^3 + 6209 x^2 - 33264 x + 65600$
попытаемся разложить левую часть на множители:
$15 x^4 - 504 x^3 + 6209 x^2 - 33264 x + 65600=15x^4-189x^3-315x^3+\\600x^2+3969x^2+1640x^2-12600x-20664x+65600=\\=(15 x^4 - 189 x^3 + 600 x^2)+(-315 x^3 + 3969 x^2 - 12600 x)+\\(1640 x^2 - 20664 x + 65600)=3x^2(5 x^2 - 63 x + 200)-63x\\(5 x^2 - 63 x + 200)+328(5 x^2 - 63 x + 200)=\\=(3x^2-63x+328)(5x^2-63x+200)$
продолжаем решать уравнение:
$(3x^2-63x+328)(5x^2-63x+200)=0 \\5x^2-63x+200=0 \\D=63^2-4*5*200\ \textless \ 0 \\3x^2-63x+328=0 \\D=63^2-4*3*328=33 \\x_1= \frac{63+\sqrt{33}}{6} \\x_2=\frac{63-\sqrt{33}}{6}$
проверим на наличие посторонних корней:
$\frac{63+\sqrt{33}}{6} \\\sqrt{25}\ \textless \ \sqrt{33}\ \textless \ \sqrt{36} \\5\ \textless \ \sqrt{33}\ \textless \ 6 \\\sqrt{33}\approx 5,7 \\ \frac{63+5,7}{6}=11,45 \\\frac{2(x+8)}{(x-8)^2}-x\geq 0 \\ \frac{2(11,45+8)}{(11,45-8)^2}-11,45\geq 0 \\ \frac{38,9}{11,9025} -11,45\geq 0$
так как $\frac{38,9}{11,9025} -11,45\ \textless \ 0$, то $x_1= \frac{63+\sqrt{33}}{6}$ - посторонний корень
$\frac{63-\sqrt{33}}{6} \\\sqrt{33}\approx 5,7 \\\frac{63-5,7}{6}=9,55 \\ \frac{2(9,55+8)}{(9,55-8)^2} -9,55\geq 0 \\ \frac{35,1}{2,4025} -9,55\geq 0 \\\frac{35,1}{2,4025}\approx 14,6 \\x^2-64\geq 0 \\9,55^2-64\geq 0$
все верно, значит уравнение имеет единственный корень $x=\frac{63-\sqrt{33}}{6}$
Ответ: $x=\frac{63-\sqrt{33}}{6}$