Question

Решите пожалуйста 4,5,6,7 номера
( желательно на листочке)

Answer 1

4. $\frac{cos(\pi x)}{x-2}=\frac{1}{x-2}\\ cos(\pi x)*\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-2}=0\\ (cos(\pi x)-1)*\frac{1}{x-2}=0\\ (cos(\pi x)-1=0\ \ \ or\ \ \ \frac{1}{x-2}=0)\ \ and\ \ x \neq 2\\ cos(\pi x)=1\ \ and\ \ x \neq 2\\ x=2n,\ where\ n\in Z\ \ and\ \ x \neq 2\\ x=2n,\ \ where\ n\in Z\setminus\{1\}$

5. $\sqrt{x-5}\ \textless \ x-7\\ 0 \leq x-5\ \textless \ (x-7)^2\ \ \ and\ \ \ x-7\ \textgreater \ 0\\ x \geq 5\ \ and\ \ x-5\ \textless \ x^2-14x+49\ \ and\ \ x\ \textgreater \ 7\\ x^2-15x+54\ \textgreater \ 0\ \ and\ \ x\ \textgreater \ 7\\ (x-6)(x-9)\ \textgreater \ 0\ \ and\ \ x\ \textgreater \ 7\\ x\in(-\infty;6)\cup(9;+\infty)\ \ and\ \ x\in(7;+\infty)\\ x\in(9;+\infty)$

6. $\sqrt{3x+4} \geq x\\ (x \geq 0\ \ and\ \ 3x+4 \geq x^2)\ \ or\ \ (x\ \textless \ 0\ \ and\ \ 3x+4 \geq 0)\\ (x \geq 0\ \ and\ \ x^2-3x-4 \leq 0)\ \ or\ \ (x\ \textless \ 0\ \ and\ \ x \geq -\frac{4}{3})\\ (x \geq 0\ \ and\ \ (x+1)(x-4) \leq 0)\ \ or\ \ x\in[-\frac{4}{3};0)\\ (x\in[0;+\infty)\ \ and\ \ x\in[-1;4])\ \ or\ \ x\in[-\frac{4}{3};0)\\ x\in[0;4]\ \ or\ \ x\in[-\frac{4}{3};0)\\ x\in[-\frac{4}{3};4]$

7. $5^{7x-1}+ \sqrt{7x-1}=5^{x^2-9}+ \sqrt{x^2-9}\\ f(x)=5^x\ \textgreater \ 0\ \ and\ \ g(x)=\sqrt{x} \geq 0\\ a(x)=7x-1\ \ and\ \ b(x)=x^2-9\\ f(a)+g(a)=f(b)+g(b)$

Нас интересует указанное уравнение на следующем промежутке значений для агрумента $x$:

$7x-1 \geq 0\ \ and\ \ x^2-9 \geq 0\\ x\in[\frac{1}{7};+\infty)\ \ and\ \ x\in(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)\\ x\in[3;+\infty)$
на указанном промежутке как выражение $5^{7x-1}+ \sqrt{7x-1}$ так и выражение $5^{x^2-9}+ \sqrt{x^2-9}$ являються суммами двух МОННОТОННО РАСТУЩИХ функций

при чем свой рост первая сумма начинает с значения $5^{7*3-1}+\sqrt{3*7-1}\approx5^{20}$
а вторая с значения $5^{0}+\sqrt{0}=1\ \textless \ \ \textless \ 5^{20}$

и тут важно увидеть, что темп роста (скорость роста) первой суммы, как функции, ниже темпа роста второй суммы, как функции, так как в первой сумме фигурирует выражение $7x-1\approx x$, а во второй $x^2-9\approx x^2$ (на интересующем нас интервале значений икс)

и также критически важно заметить, что скорость роста темпа (скорости) роста второй функции с ростом аргумента, только растет, также как и в случае с первой, это можно показать через первую и вторую производные на интересующем нас промежутке

Все это означает, что в какой-то момент вторая сумма, как функция, "догонит" первую сумму, которая рассматриваеться как функция, и после этого момента вторая сумма будет иметь гарантированно большие значения, чем первая, а это означает, что уравнение имеет только одно решение.

"Угадаем его"!
$7x-1=x^2-9\\ 7*8-1=8^8-9\\ 56-1=64-9\\ 55=55$
$5^{55}+\sqrt{55}=5^{55}+\sqrt{55}$

Ответ: $8$