Question

Помогите с неопределенными интегралами, пожалуйста! Всё кроме 1,2,11 и 12. Спасибо за помощь!

Answer 1

$7)\; \; \int \frac{x^4\, dx}{1+x^{10}}=\frac{1}{5}\int \frac{5x^4\, dx}{1+(x^5)^2}=[\, t=x^5,\; dt=5x^4\, dx\, ]=\frac{1}{5}\int \frac{dt}{1+t^2}=\\\\=\frac{1}{5}\cdot arctgt+C=\frac{1}{5}\cdot arctgx^5+C \\\\9)\; \; \int \frac{e^{2x}\, dx}{e^{4x}+1}=\frac{1}{2}\int \frac{2e^{2x}\, dx}{(e^{2x})^2+1}=[\, t=e^{2x}\, ,\, dt=2e^{2x}dx\, ]=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2+1}=\frac{1}{2}\cdot arctgt+C=\frac{1}{2}\cdot arctge^{2x}+C$

$8)\; \; \int (1-x^2)^4\, x\, dx=[\, t=1-x^2\; ,\; dt=-2x\, dx\, ]=\\\\=-\frac{1}{2}\int t^4\cdot dt=-\frac{1}{2}\cdot \frac{t^5}{5}+C=-\frac{(1-x^2)^5}{10}+C\\\\10)\; \; \int sinx\cdot cos^3x\, dx=[\, t=cosx\; ,\; dt=-sinx\, dx\, ]=\\\\=-\int t^3\, dt=-\frac{t^4}{4}+C=-\frac{cos^4x}{4}+C$

$14)\; \; \int \frac{x+6}{\sqrt{x^2+8x+25}}dx=\int \frac{(x+6)dx}{\sqrt{(x+4)^2+9}}=[\, t=x+4\, ,\; t=x-4,dt=dx\, ]=\\\\=\int \frac{(t+2)dt}{\sqrt{t^2+9}}=\int \frac{t\, dt}{\sqrt{t^2+9}}+2\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+9}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(t^2)}{\sqrt{t^2+9}}+2\cdot ln|t+\sqrt{t^2+9}|=\\\\=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t^2+9} +2\cdot ln|t+\sqrt{t^2+9}|+C=\\\\=\sqrt{x^2+8x+25}+2\cdot ln|x+4+\sqrt{x^2+8x+25}|+C$