Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертёж
y= 4-(x+2)^2
y=4-4(x-4)^2
y=4

Answer 1

   Найдём точки пересечения парабол y=4-(x+2)²  и  y=4-4(x-4)² .
4-(х+2)²=4-4(х-4)² 
(х+2)²-4(х-4)²=0
По формуле  А²-В²=(А-В)(А+В)  имеем: ((х+2)-2(х-4))·((х+2)+2(х-4))=0 ,
(х+2-2х+8)(х+2+2х-8)=0  ,  (-х+10)(3х-6)=0  ⇒  х=10  и  х=2 .
Для заданной области подходит х=2  , у(2)=-12 .
Точки пересечения с ОХ: 4-(х+2)²=0  ⇒  (2-х-2)(2+х+2)=0 , х=0 и х=-4 .
4-4(х-4)²=0  ⇒  (2-2(х-4))·(2+2(х-4))=0 , (10-2х)(2х-6)=0 , х=5 и х=3 .
Заданную область разобьём на сумму двух областей прямой х=2 . 
1 область: -2≤x≤2 и  верхняя граница у₁=4, нижняя граница у₂=4-(х+2)².
2 область: 2≤х≤4 и верхн. граница у₁=4, нижняя у₂=4-4(х-4)².
Для вычисления площади каждой области пользуемся формулой

   $S= \int\limits^a_b\, (y_1(x)-y_2(x)) \, dx$  

$S= \int\limits_{-2}^2 \Big (4-(4-(x+2)^2)\Big )\, dx+\int\limits^4_2 \Big (4-(4-4(x-4)^2)\Big )\, dx=\\\\= \int\limits^2_{-2}(x+2)^2\, dx+\int\limits^4_2 4(x-4)^2\, dx=\frac{(x+2)^3}{3}\Big |_{-2}^2+\frac{4(x-4)^3}{3}\Big |_2^4=\\\\=\frac{1}{3}\cdot (4^3-0^3)+\frac{4}{3}\cdot (0^3-(-2)^3)=\frac{1}{3}\cdot 64+\frac{4}{3}\cdot 512=\frac{2112}{3}=704$