Question

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 2√3 и составляет с боковым ребром угол 30°. Найдите объем параллелепипеда, если периметр его основания равен 2√5.

Answer 1

диагональ В1Д

высота Н = 2√3 * cos(30) = 2√3 * 0,5 * √3 = 3

диагональ основания ВД = В1Д * sin(30) = 2√3 * 0,5 = √3

пусть стороны основания равны х и у

x^2 + y^2 = (√3)^2
2(x+y) = 2√5

решая систему, найдём стороны основания:

х = 0,5(√5 + 1)
у = 0,5(√5 - 1 )

объем: V = x*y*H = 0,5(√5 + 1)*0,5(√5 - 1)*3 = 3

Answer 2

AC лежит в плоскости основания, ребро СС1 прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания. Треугольник ACC1 - прямоугольный с углом 30°.
AC=AC1/2 =√3 (катет против угла 30° равен половине гипотенузы)
CC1=AC√3 =3 (катет против угла 60° равен другому катету, умноженному на √3)

Грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.
P(ABCD) =2(AB+BC) =2√5 <=> AB+BC=√5

AB^2 +BC^2 =AC^2 <=>
(AB+BC)^2 =AC^2 +2AB*BC <=>
AB*BC =(5-3)/2 =1

Объем прямоугольного параллелепипеда равен призведению трех его измерений:
V=AB*BC*CC1 =3