Question

найдите все значения а, при которых система уравнений имеет бесконечно много решений

Answer 1

Если коэффициенты перед неизвестными и свободные члены пропорциональны, то система имеет бесчисленное множество решений.
Составим пропорции.

$\frac{2}{a+1}=\frac{a}{6} =\frac{a+3}{a+9} \\\\1)\; 2\cdot 6=a(a+1)\; \; \to \; \; a^2+a-12=0\; ,\; a_1=3\; ,\; a_2=-4\\\\2)\; 2(a+9)=(a+1)(a+3)\; \; \to \; \; a^2+2a-15=0\; ,\; a_1=3,\; a_2=-5\\\\3)\; a(a+9)=6(a+3)\; \; \to \; \; a^2+3a-18=0\; ,\; a_1=3\; ,\; a_2=-6$

Из полученных значений для "а" выбираем одинаковое для всех трёх случаев:  а=3. 
Замечание:  достаточно было рассмотреть только 2 любых случая.
Ответ:  а=3 .