Question

Решить диф.уравнения 1)y'+xy=xy^2
2)xtgyy'=1-x^2 3)(1+x^2)dy-2x(y+3)dx=0 y(0)=-1

Answer 1

Уравнение Бернулли
$y'+xy=xy^2|:y^2\\\frac{y'}{y^2}+\frac{x}{y}=x\\z=\frac{1}{y};z'=-\frac{y'}{y^2};\frac{y'}{y^2}=-z'\\-z'+xz=x\\z=uv;z'=u'v+v'u\\-u'v-v'u+xuv=x\\-u'v+u(-v'+xv)=x\\\begin{cases}-v'+xv=0\\u'v=-x\end{cases}\\-\frac{dv}{dx}+xv=0|*\frac{dx}{v}\\\frac{dv}{v}=xdx\\\int\frac{dv}{v}=\int xdx\\ln|v|=\frac{x^2}{2}\\v=e^\frac{x^2}{2}\\\frac{du}{dx}e^\frac{x^2}{2}=-x\\du=-xe^{-\frac{x^2}{2}}\\\int du=\int e^{-\frac{x^2}{2}}d(-\frac{x^2}{2})\\u=e^{-\frac{x^2}{2}}+C\\z=\frac{1}{y}=1+Ce^\frac{x^2}{2}$
$y=\frac{1}{1+Ce^\frac{x^2}{2}}$

ДУ с разделяющимися переменными.
$\frac{xtgydy}{dx}=1-x^2|*\frac{dx}{x}\\tgydy=(\frac{1}{x}-x)dx\\\int tgydy=\int(\frac{1}{x}-x)dx\\-ln|cosy|=ln|x|-\frac{x^2}{2}+C\\\frac{x^2}{2}-ln|xcosy|=C$

ДУ с разделяющимися переменными.
$(1+x^2)dy-2x(y+3)dx=0|*\frac{1}{(y+3)(1+x^2)}\\\frac{dy}{y+3}=\frac{2xdx}{1+x^2}\\\int\frac{d(y+3)}{y+3}=\int\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}\\ln|y+3|=ln|1+x^2|+ln|C|\\y+3=C(1+x^2)\\y=C(1+x^2)-3\\y(0)=-1\\-1=C-3\\C=2\\y=2(1+x^2)-3$