Question

Дан правильный девятиугольник ABCDEFGHK с центром О. Площадь треугольника АОD равна 9 корней из 3. Найдите длину перпендикуляра ОК, опущенного на диагональ AD

Answer 1

Около правильного многоугольника можно описать окружность, центр которой совпадет с центром многоугольника. 

Если соединить центр такой окружности с вершинами девятиугольника, каждый образовавшийся центральный угол будет равен 360°:9=40°.

Диагональ многоугольника - отрезок, который соединяет любые две его вершины, кроме соседних. 

Диагональ АD соединяет вершины А и D и образует с центром О равнобедренный треугольник. Угол АОD=40°•3=120°

Перпендикуляр ОК - высота, медиана и биссектриса ∆ АОD и  делит его на два равных прямоугольных треугольника. 

Угол АОК=120°:2=60°

Угол ОАК=30°.

 Из формулы площади треугольника 

S(AOD)=AO•OD•sinAOD:2

Примем длину ОК=а, тогда АО=2а, т.к. катет ОК противолежит углу 30°.

9√3=(2a•2a•√3/2):2 ⇒ a²√3⇒

a=√9=3 - это ответ. 

————

Можно применить т.Пифагора, найти длину АD=2AK  и по формуле 

h=2S:a из площади вычислить ОК.