признаки подобия треугольник в и доказательство первого признака
Ответы
Ответ:
Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Признаки подобия треугольников и доказательство первого признака.
1-признак подобия треугольников (подобие треугольников по двум углам):
Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.
2-признак подобия треугольников (подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними):
Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.
3-признак подобия треугольников (подобие треугольников по трём сторонам):
Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.
Доказательство 1-признака (см. рисунок):
Известно: ∠А=∠А₁, ∠B=∠B₁. Для внутренних углов треугольника ABC и треугольника A₁B₁C₁ верно равенство:
∠A+∠B+∠C=180° и ∠A₁+∠B₁+∠C₁=180°.
Отсюда
∠C=180°–∠A–∠B и ∠C₁=180°–∠A₁–∠B₁=180° – ∠A – ∠B, следовательно ∠С=∠С₁.
Как известно, площадь треугольника можно определить через две стороны и угол между этими сторонами:
S(ABC)=(1/2)•AB•AC•sin∠A=(1/2)•AB•ВC•sin∠B=(1/2)•AС•ВC•sin∠C и
S(A₁B₁C₁)=(1/2)•A₁B₁•A₁C₁•sin∠A₁=(1/2)•A₁B₁•В₁C₁•sin∠B₁=(1/2)•A₁С₁•В₁C₁•sin∠C₁.
Так как ∠А=∠А₁, ∠B=∠B₁ и ∠С=∠С₁, то:
S(ABC)/S(A₁B₁C₁)=(AB•AC)/( A₁B₁•A₁C₁)=(AB•ВC)/(A₁B₁•В₁C₁)=(AС•ВC)/(A₁С₁•В₁C₁).
Из равенства (AB•AC)/(A₁B₁•A₁C₁)=(AB•ВC)/(A₁B₁•В₁C₁) следует, что AC/A₁C₁=BС/В₁С₁.
Из равенства (AB•ВC)/(A₁B₁•В₁C₁)=(AС•ВC)/(A₁С₁•В₁C₁) следует, что AВ/A₁В₁=АС/А₁С₁.
Таким образом, у треугольников ABC и A₁B₁C₁:
∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁, ∠C=∠C₁, и AB/A₁B₁=АС/А₁С₁=BС/В₁С₁,
то есть и углы равны и сходственные стороны пропорциональны. Отсюда, по определению: ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁, что и требовалось доказать.
