Question

Найти все значения a при которых система неравенств имеет единственное решение.
((x-2)^2+(y-3)^2)*((x-8)^2+(y-2)^2) <= 0
((x - 2a)^2+(y-a)^2) <= 4a^2

Answer 1

Первое неравенство выполняется тогда и только тогда, когда 
$x-2=0;~~y-3=0$ откуда $x=2;~y=3$ и также $x-8=0;~ y-2=0$  откуда  $x=8;~ y=2$

Подставим х=2 и у=3 во второе неравенство.

$(2-2a)^2+(3-a)^2 \leq 4a^2\\ \\ 4-8a+4a^2+9-6a+a^2 \leq 4a^2\\ \\ a^2-14a+13\leq 0\\ \\ (a-13)(a-1)\leq 0$

Отсюда $a \in [1;13].$

Подставим теперь х=8 и у=2, получим

$(8-a)^2+(2-a)^2\leq 4a^2\\ \\ 64-32a+4a^2+4-4a+a^2\leq 4a^2\\ \\ a^2-36a+324-256\leq 0\\ \\ (a-18)^2\leq 256\\ \\ -16\leq a-18\leq 16\\ \\ 2\leq a\leq 34$


Система имеет единственное решение, если выполняется один из двух решений первого неравенства. То есть, при $a \in [1;2)\cup\{34\}.$