Question

в наборе 2018 чисел: 2¹ , 2² , 2³ , .... , 2(в 2018 степени). сколькими способами из этого набора можно убрать одно число, чтобы произведение оставшихся чисел было квадратом некоторого натурального числа?
P.S. то что зачеркнуто не обращайте внимания, они могут быть и правильными ) заранее спасибо

Answer 1

Перемножим все эти числа; по свойству степеней получим 

$2^{1+2+3+\ldots + 2018}=2^{\frac{2019\cdot 2018}{2}=2^{2019\cdot 1009}$

Таким образом, получили 2 в нечетной степени, поэтому получившееся число не является квадратом никакого натурального числа. Квадрат натурального получится, если останется 2 в четной степени. Поэтому надо убрать любую нечетную степень двойки, а таковых ровно половина, то есть 1009 штук. Например, если мы уберем 2 в первой степени, то получим 

$2^{2019\cdot 1009 -1}=2^{2037170}=2^{1018585\cdot 2}= \left(2^{1018585}\right)^2$

Ответ: 1009