Question

В наборе 2018 чисел: 2^1, 2^2, 2^3 . . . 2^2018. сколькими способами из этого набора можно убрать одно число, чтобы произведение оставшихся чисел было квадратом некоторого натурального числа?
а. 1007
б. 1008
в. 1009
г. 2017
д. 2018

Answer 1

Найдем текущее произведение:
$2^1\cdot2^2\cdot2^3\cdot...\cdot2^{2018}=2^{1+2+3+...+2018}=2^{ \frac{1+2018}{2}\cdot2018}=2^{ 2019\cdot1009}$
Результат - двойка, возведенная в нечетную степень - не точный квадрат. Однако, если степень будет четной, то число окажется точным квадратом:
$2^{2k}=(2^k)^2$
Для получения такого числа достаточной вычеркнуть из исходного набора любое число с нечетным показателем. Тогда по правилу деления степеней в показателе окажется разность нечетных чисел, то есть число четное. Выбрать же некоторое число с нечетной степенью можно 2018/2=1009 способами, так как в исходном наборе и чисел с нечетной степенью и чисел с четной степенью одинаковое количество.
Ответ: 1009