Question

Помогите, пожалуйста, решить тригонометрическое уравнение. Подробно

Answer 1

$\sin2x-2 \sqrt{3} \cos\left(x+ \dfrac{7 \pi }{6} \right)=3\cos x$
$\sin2x-2 \sqrt{3} \left(\cos x\cos \dfrac{7 \pi }{6} -\sin x\sin \dfrac{7 \pi }{6} \right)=3\cos x$
$\sin2x-2 \sqrt{3} \left(\cos x\cdot\left(- \dfrac{ \sqrt{3} }{2}\right) -\sin x\cdot\left(- \dfrac{ 1 }{2}\right) \right)=3\cos x$
$\sin2x-2 \sqrt{3} \left(-\dfrac{ \sqrt{3} }{2} \cos x+ \dfrac{ 1 }{2}\sin x \right)=3\cos x$
$\sin2x+3\cos x- \sqrt{3} \sin x =3\cos x$
$\sin2x- \sqrt{3} \sin x =0$
$2\sin x\cos x- \sqrt{3} \sin x =0$
$\sin x\left(2\cos x- \sqrt{3}\right) =0 \\\ \sin x=0\Rightarrow \boxed{x_1= \pi n , \ n\in Z} \\\ 2\cos x- \sqrt{3}=0\Rightarrow \cos x= \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow \boxed{x_2=\pm \dfrac{ \pi }{6} +2 \pi n, \ n\in Z}$

Отбор корней.
1 серия:
$- \dfrac{3 \pi }{2} \leq \pi n \leq 0$
$- \dfrac{3 }{2} \leq n \leq 0$
$n=0: \ \boxed{x=0}$
$n=-1: \ \boxed{x=- \pi }$
2 серия:
$- \dfrac{3 \pi }{2} \leq \dfrac{ \pi }{6} +2 \pi n \leq 0$
$- \dfrac{3 }{2} \leq \dfrac{1 }{6} +2 n \leq 0$
$- \dfrac{3 }{2}-\dfrac{1 }{6} \leq 2 n \leq -\dfrac{1 }{6}$
$- \dfrac{5 }{4} \leq 2 n \leq -\dfrac{1 }{6}$
$- \dfrac{5 }{8} \leq n \leq -\dfrac{1 }{12}$
$n\notin Z$
3 серия:
$- \dfrac{3 \pi }{2} \leq -\dfrac{ \pi }{6} +2 \pi n \leq 0$
$- \dfrac{3 }{2} \leq- \dfrac{1 }{6} +2 n \leq 0$
$- \dfrac{3 }{2}+\dfrac{1 }{6} \leq 2 n \leq \dfrac{1 }{6}$
$- \dfrac{4 }{3} \leq 2 n \leq \dfrac{1 }{6}$
$- \dfrac{2 }{3} \leq n \leq \dfrac{1 }{12}$
$n=0: \ \boxed{x=-\dfrac{ \pi }{6}}$