Question

Найти область сходимости ряда (х-1)^n/n*9^n
Помогите ,пожалуйста .

Answer 1

$\sum\limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{(x-1)^{n}}{n\cdot 9^{n}}\\\\ \lim\limits _{n \to \infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}= \lim\limits _{n \to \infty}\frac{|x-1|^{n+1}}{(n+1)\cdot 9^{n+1}}:\frac{|x-1|^{n}}{n\cdot 9^{n}}=\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{|x-1|^{n}\cdot |x-1|}{(n+1)\cdot 9^{n}\cdot 9}\cdot \frac{n\cdot 9^{n}}{|x-1|^{n}}=\frac{|x-1|}{9}\ \textless \ 1\; \; \Rightarrow \; \; |x-1|\ \textless \ 9\\\\-9\ \textless \ x-1\ \textless \ 9\\\\-8\ \textless \ x\ \textless \ 10\\\\x=10:\; \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{(x-1)^{n}}{n\cdot 9^{n}}=\sum\limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{9^{n}}{n\cdot 9^{n}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$

Получили гармонический расходящийся ряд .

$x=-8:\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty } \frac{(x-1)^{n}}{n\cdot 9^{n}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-9)^{n}}{n\cdot 9^{n}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}\cdot 9^{n}}{n\cdot 9^{n}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n}$

Ряд сходится по признаку Лейбница (члены рядя по модулю убывают, общий член ряда по модулю стремится к 0 ).

Область сходимости:   $x\in [-8,10)\; .$