Question

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K , длина стороны AC относится к длине стороны AB как 2 : 9 . Найдите отношение площади треугольника ABK к площади треугольника ABC

Answer 1

1) По свойству биссектрисы $\frac{CP}{PB}=\frac{CA}{AB}=\frac{2}{9}.$

2) Так как у треугольников ABC и ABM высота, опущенная из вершины B, общая, а CA=2MA, то $S_{CAB}=2S_{MAB}.$

3) Применим теорему Менелая к треугольнику CMB и прямой AP:

$\frac{CP}{PB}\cdot \frac{BK}{KM}\cdot \frac{MA}{AC}=1;\ \frac{2}{9}\cdot \frac{BK}{KM}\cdot \frac{1}{2}=1;\ \frac{BK}{KM}=9;\ BK=\frac{9}{10}BM.$

4) В треугольниках MAB и KAB высота, опущенная из вершины A, общая, а $BK=\frac{9}{10}BM\Rightarrow S_{KAB}=\frac{9}{10}S_{MAB}=\frac{9}{20}S_{ABC}.$

Ответ: $\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\frac{9}{20}$