Question

Решить уравнение:
$5+2sin 2x-5cosx=5sinx$
удачи)

Answer 1

вот эта твоя скобочка такой азарт дала канешн

$5+2sin2x-5cos x=5sin x \\ 5+2sin2x= 5sin x + 5cos x \\ 5+2sin2x= 5(sin x + cos x)\\ (5+2sin2x)^2 = (5(sin x + cos x))^2\\ 25+20sin2x+4sin^22x=25(\cos x+\sin x)^2 \\ 25+20sin2x+4sin^22x=25cos^2x+50(cos x)(sin x)+25sin^2x \\ 25+20sin2x+4sin^22x=25cos^2x+25sin^2x+50(cos x)(sin x) \\ 25+40(cosx)(sinx)+4sin^22x=25(cos^2x+sin^2x)+50(cos x)(sin x) \\ 25-10(cosx)(sinx)+4sin^22x=25 \\ 4sin^22x - 5sin2x=0$
Решаем квадратное уравнение, получаем $\left \{ {{sin2x=1.25} \atop {sin2x=0}} \right.$
Т. к. синус лежит в пределах от -1 до 1, получаем
$sin2x=0 \\ 2x= \pi *k \\ x= \frac{\pi}{2}*k$
Подставив $\pi, \frac{3 \pi }{2}$ понимаем что они не подходят(если не ошибаюсь, при возведении в квадрат часто появляются лишние корни, поэтому их проверять надо)

Ответ:$\left \{ {{x= 2\pi k} \atop {x= \frac{ \pi }{2} }+ 2\pi k} \right.$, k ∈ Ζ