Question

На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC . Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту
конуса.
а) Точка N —середина отрезка AC . Докажите, что угол MNB прямой.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS = 2, AC = 6 .

Answer 1

а) Доказательство

По условию задачи медиана AM треугольника ACS пересекает высоту
конуса, значит медиана АМ и высота конуса ∈ плоскости Δ ACS.

Учитывая, что SC и SA образующие конуса, то SC = SA, значит Δ ACS - равнобедренный. 

Т.к. N - середина АС, тогда SN - высота конуса и высота Δ ACS. ⇒ SN ⊥ AC и  АС - диаметр основания конуса.

По условию AB = BC  ⇒  ΔАВС - равнобедренный,
тогда BN - высота  ⇒   BN ⊥ AC  и  BN ⊥ AN

Учитывая, что SN ⊥ BN, AS - наклонная, AN - проекция наклонной (AN ⊥ BN), то по теореме о трех перпендикулярах AS ⊥ BN, а значит BN ⊥ MN, так как MN || AS (MN - средняя линия).

Что и требовалось доказать.



б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если $AS = 2 \ , \ AC = \sqrt{6}$ 

Решение.

Построим прямую МЕ || SB. Прямые AM и SB скрещиваются, поэтому угол между ними, будет равен углу между прямой АМ и МЕ.

Угол АМЕ найдем из ΔАЕМ, для это найдем его стороны.

ΔАВС - равнобедренный (по условию AB = BC) и прямоугольный. ∠ ВАС = 90° т.к. это угол опирается на диаметр окружности), тогда
$AC^2 = 2AB^2 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ AB=BC = \sqrt{\frac{ \sqrt{6}^2 }{2}} = \sqrt{3}$
AE - медиана, то по формуле медианы треугольника найдем

$AE = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} = \\ \\ = \frac{1}{2} \sqrt{2* (\sqrt{3})^2 + 2*(\sqrt{6})^2-(\sqrt{3})^2}= \frac{ \sqrt{15}}{2}$

Рассмотрим ΔASC. AМ - медиана, то по формуле медианы треугольника найдем

$AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AS^2 + 2AC^2 - SC^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2*2^2 + 2*(\sqrt{6}) ^2 - 2^2} = 2$

Рассмотрим ΔSBC. Где AS = SB = 2, ME - средняя линия ΔSBC, тогда 
МЕ = SB / 2 = 2 / 2 = 1

Тогда по теореме косинусов из ΔAME найдем ∠AME = α
$AE^2 = AM^2 + ME^2 - 2 *AM*ME*cos \alpha$

Отсюда
$2 *AM*ME*cos \alpha = AM^2 + ME^2 - AE^2 \\ \\ 2 *2*1*cos \alpha = 2^2 + 1^2-( \frac{ \sqrt{15}}{2})^2 \\ \\ cos \alpha = (5- \frac{ 15}{4})* \frac{1}{4} = \frac{ 5}{4}* \frac{1}{4}= \frac{5}{16}$

$\alpha = arcos \frac{5}{16}$

Ответ: 
$arcos \frac{5}{16}$