Question

Найдите площадь фигуры,ограниченной графиками функций y=2- |x| и y=x^2

Answer 1

I.
y = 2- |x|
1) x < 0  ⇒  y = 2 + x 
    График - прямая линия.
    Точка пересечения с осью OX   y = 0;  x = -2
    Дополнительная точка для построения 
    x = -1; y = 2- 1 = 1
2) x ≥ 0  ⇒  y = 2 - x
    График - прямая линия.
    Точка пересечения с осью OX   y = 0; x = 2
    Точка пересечения с осью OY  x = 0; y = 2
    
 II.  y = x²    квадратичная функция
   График - квадратичная парабола, ветви направлены вверх
   Ноль функции в точке   y = 0; x = 0  - вершина параболы

III.  Точки пересечения графиков
  1) x² = 2 + x    для   x<0
      x² - x - 2 = 0
     D = 1 + 4*2 = 9 = 3²
     x₁ = (1 - 3)/2 = -1;   y₁ = 2 + (-1) = 1;
     x₂ = (1 + 3)/2 = 2   не подходит, так как x<0
2) x² = 2 - x    для x ≥ 0
     x² + x - 2 = 0
    D = 1 + 4*2 = 9 = 3²
    x₁ = (-1 + 3)/2 = 1;   y₁ = 2 - 1 = 1;
    x₂ = (-1 - 3)/2 = -2   не подходит, так как x≥0

IV.   Площадь симметрична относительно оси OY, можно посчитать площадь только правой половинки и умножить на 2.
 Область интегрирования
  по оси OX:    x ∈ [0; 1]
  по оси OY:   от параболы  y = x²  до  прямой  y = 2 - x
  
V. 
$S_1 = \int\limits^1_0 \, dx \int\limits^{2-x}_{x^2} \, dy =1 \frac{1}{6}$
$S = 2*S_1=2* \frac{7}{6} = \frac{7}{3} =2 \frac{1}{3}$

Ответ:  S = 2 1/3