Question

Матанализ, 11 класс.
Задания во вложении.

Answer 1

10. Воспользуемся формулой производной частного.
$\displaystyle y'= \frac{(\arcsin 2x)'\cdot x^2-\arcsin2x\cdot (x^2)'}{x^4} =\\ \\ \\ = \frac{ \frac{1}{ \sqrt{1-4x^2} }\cdot(2x)'\cdot x^2-\arcsin2x\cdot 2x }{x^4} = \frac{2x-2 \arcsin2x\sqrt{1-4x^2} }{x^3 \sqrt{1-4x^2} }$


11. Здесь пользуемся формулой производной произведения.

$y'=(e^{-x}\sin 2x)'=(e^{-x})'\cdot \sin2x+e^{-x}\cdot (\sin 2x)'=\\ \\ =e^{-x}\cdot (-x)'\cdot \sin2x+e^{-x}\cdot \cos2x\cdot (2x)'=-e^{-x}(\sin 2x-2\cos 2x)$

Вторая производная:

 $y''=(-e^{-x})'\cdot (\sin2x-2\cos2x)-e^{-x}\cdot(\sin2x-2\cos2x)'=\\ \\ =e^{-x}\cdot (\sin 2x-2\cos 2x)-e^{-x}\cdot (2\cos 2x+4\sin 2x)=\\ \\ \\ =e^{-x}\sin2x-2e^{-x}\cos2x-2e^{-x}\cos2x-4e^{-x}\sin2x=\\ \\ \\ =-3e^{-x}\sin2x-4e^{-x}\cos2x=-e^{-x}(3\sin2x+4\cos 2x)$


12. Наклонная асимптота является линейной функцией. В общем виде можно представить как y = kx + b

По определению асимптоты: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (kx+b-f(x))$

$k=\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+5x+1}{x(2x+1)} = \frac{3}{2}$

Найдем теперь коэффициент b

$\displaystyle b= \lim_{x \to \infty}(f(x)-kx)= \lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{3x^2+5x+1}{2x+1}- \frac{3x}{2} \bigg)=\\ \\ \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{7x+2}{4x+2} = \frac{7}{4}$

Получим уравнение наклонной асимптоты:  $y= \dfrac{3x}{2} + \dfrac{7}{4}$