Question

(1+y^2)dx+xy*dy=0
Решите, пожалуйста, дифференциальное уравнение. Только, чтобы я не просто списала, а разобралась и поняла.
Возникает при решении проблема в рзделении переменных.

Answer 1

$(1+y^2)\cdot dx+x\cdot y\cdot dy=0\, |:x(1+y^2)$

Заданное уравнение с разделяющимися переменными, т.к. перед дифференциалами dx и dy стоят выражения, представимые в виде произведения 2 функций, одна из которых зависит от "х", а вторая от "у".
Чтобы разделить переменные,надо разделить всё уравнение на произведение "мешающих" функций ( то есть перед dx "мешает" функция, зависящая от "у", а перед dy "мешает" функция, зависящая от "х").

$\frac{(1+y^2)\, dx}{x(1+y^2)}+\frac{x\cdot y\, dy}{x(1+y^2)} =0\\\\\frac{dx}{x}+\frac{y\cdot dy}{1+y^2}=0\; \; \; \to \; \; \; \int \frac{dx}{x}=-\int \frac{y\cdot dy}{1+y^2}\\\\\int \frac{dx}{x}=-\frac{1}{2}\cdot \int \frac{2y\cdot dy}{1+y^2}\\\\ln|x|=-\frac{1}{2}\cdot ln|1+y^2|+ln|C|\\\\x=\frac{C}{\sqrt{1+y^2}}$

Answer 2

task/28154157
--------------------
(1+y²)dx +xy*dy=0 ;
(1+y²)dx = - xy*dy  ;
dx / x  = - ydy  / (1+y²) ;
dx / x  = (- 1/2) d(1+y²)  / (1+y²) ;
Ln|x| +Ln|C|  = (- 1/2) Ln(1+y²) ;
Ln|Cx|  = (- 1/2) Ln(1+y²) ;
|Cx| =1/√(1+y²) .