Question

Решить уравнение: sin2x-2cos(x- 4 pi/3)=√3 sinx

Answer 1

для начала распишем выражение cos(x- 4 pi/3) по формуле разности 2-х углов:
cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

$cos(x- \frac{4 \pi }{3} )=cosx*cos\frac{4 \pi }{3}+sinx*sin\frac{4 \pi }{3}=cosx*(- \frac{1}{2} )+ \\ +sinx*(- \frac{ \sqrt{3} }{2} )=- \frac{1}{2} cosx-\frac{ \sqrt{3} }{2}sinx$

Также расписываем синус двойного угла:
$sin2x=2sinx*cosx$

Теперь подставляем это в уравнение:

$sin2x-2cos(x- \frac{4 \pi }{3} )= \sqrt{ 3} sinx \\ \\2sinx*cosx-2(- \frac{1}{2} cosx-\frac{ \sqrt{3} }{2}sinx)= \sqrt{ 3} sinx \\ \\ 2sinx*cosx+ cosx+\sqrt{3}sinx-\sqrt{ 3} sinx= 0 \\ \\ 2sinx*cosx+cosx=0 \\ \\ cosx(2sinx+1)=0$

$\begin{bmatrix} cosx=0 \\ 2sinx+1=0 \end {matrix} \ \Leftrightarrow \ \begin{bmatrix} x= \frac{ \pi }{2}+ \pi n, \ n \in Z \\ sinx=- \frac{1}{2} \end {matrix} \ \Leftrightarrow \ \begin{bmatrix} x= \frac{ \pi }{2}+ \pi n, \\x=- \frac{ \pi }{6}+2 \pi n \\ x=- \frac{ 5\pi }{6}+2 \pi n, \ n \in Z \end {matrix} \\ \\ \\ OTBET: \frac{ \pi }{2}+ \pi n; \ - \frac{ \pi }{6}+2 \pi n; \ - \frac{ 5\pi }{6}+2 \pi n, \ n \in Z$