Question

Найти общее решение или общий интеграл заданного дифференциального уравнения

Answer 1

$y''\cdot cosx-y'\cdot sinx=sin2x\\\\y'(x)=z(x)\; ,\; \; y''=z'\\\\z'\cdot cosx-z\cdot sinx=2sinx\cdot cosx\; \Big |:cosx\ne 0\\\\z'-z\cdot \frac{sinx}{cosx}=2sinx\\\\z'=uv\; ,\; z'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-uv\cdot \frac{sinx}{cosx}=2sinx\\\\u'v+u\cdot (v'-v\cdot \frac{sinx}{cosx})=2sinx\\\\1)\; \; v'-v\cdot\frac{sinx}{cosx}=0\; \; \to \; \; \frac{dv}{v}=\frac{sinx\, dx}{cosx}\\\\\int \frac{dv}{v}=\int \frac{-d(cosx)}{cosx}\; \; \to \; \; lnv=-ln(cosx)\\\\lnv=ln(cosx)^{-1}\\\\v=\frac{1}{cosx}\\\\2)\; \; u'v=2sinx\; ,\; \; \frac{du}{dx}\cdot \frac{1}{cosx}=2sinx$

$\int du=\int 2sinx\cdot cosx\, dx\\\\u=2\, \int sinx\cdot d(sinx)\; ,\; \; u=2\cdot \frac{sin^2x}{2}+C=sin^2x+C\\\\3)\; \; z(x)=\frac{1}{cosx}\cdot (sin^2x+C)=\frac{sin^2x}{cosx}+\frac{C}{cosx}\\\\4)\; \; z=y'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{sin^2x}{cosx}+\frac{C}{cosx}\\\\\int dy=\int \frac{1-cos^2x}{cosx}\, dx+C\cdot \int \frac{dx}{cosx}\\\\y=(1+C)\cdot \int \frac{dx}{cosx}-\int cosx\, dx\\\\y=(1+C)\cdot ln|tg(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})|-sinx+C_2\\\\y=C_1\cdot ln|tg( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})|-sinx+C_2\; ,\; \; C_1=1+C$

$\star \; \; \int \frac{dx}{cosx}=[\, t=tg\frac{x}{2}\; ,\; x=2arctgt,\; dx=\frac{2\, dt}{1+t^2}\; ,\; cosx= \frac{1-t^2}{1+t^2}\, ]=\\\\=\int \frac{2\, dt}{1-t^2}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot ln\Big | \frac{1+t}{1-t}\Big |+C=ln\Big |\frac{tg\frac{x}{2}+tg\frac{\pi}{4}}{1-tg\frac{\pi}{4}\cdot tg\frac{x}{2}}\Big |+C=\\\\=ln\Big |tg(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})\Big |+C\; \; \star \\\\\star\; \; tg(x+y)= \frac{tgx+tgy}{1-tgx\cdot tgy}\; \; \star \\\\\star \; \; 1=tg\frac{\pi}{4}\; \; \star$