Question

Вычислить площадь плоской фигуры ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж полученной области 2x+3y^2=0, 2x+2y+1=0

Answer 1

Выразим y из обоих выражений:
$y=^+_-\sqrt{\frac{-2x}{3}}\\y=-x-0,5$
Теперь нужно найти точки пересечений:
$3y^2-2y-1=0\\y_{1,2}=\frac{1^+_-2}{3}\\y_1=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_2=-\frac{1}{3}\\2x_1+3=0\ \ \ \ \ 2x_2+\frac{1}{3}=0\\x_1=-1,5\ \ \ \ \ \ x_2=-\frac{1}{6}$
А теперь площади, обращаем внимание, что тут будет сумма площадей.$\displaystyle S=S_1+S_2\\S_1=\int\limits^{-\frac{1}{6}}_{-\frac{3}{2}}(\sqrt{\frac{-2x}{3}}+x+0,5)dx=(-\sqrt\frac{2}{3}*\frac{2\sqrt{-x^3}}{3}+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2})|^{-\frac{1}{6}}_{-\frac{3}{2}}=\\=-\frac{1}{27}+\frac{1}{72}-\frac{1}{12}+1-\frac{9}{8}+\frac{3}{4}=\frac{-8+3-18+216-243+162}{216}=\\=\frac{112}{216}=\frac{14}{27}\\\\\\\\S_2=\int\limits^{0}_{-\frac{1}{6}}2\sqrt{\frac{-2x}{3}}=-2\sqrt\frac{2}{3}*\frac{2\sqrt{-x^3}}{3}|^0_{-\frac{1}{6}}=\frac{2}{27}$
$\displaystyle S=\frac{14}{27}+\frac{2}{27}=\frac{16}{27}$