Question

биссектриса BL треугольника ABC равна 5 и делит сторону AC в отношении 1:3, считая от вершины A. Найдите стороны треугольника АВС , если известно, что описанная окружность треугольника ABL касается прямой ВС в точке В.

Answer 1

Пусть AL=x; тогда LC=3x. По условию CB является касательной к данной окружности, а CA - секущей. Поскольку квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, получаем равенство 

$CB^2=4x\cdot 3x=12x^2.$

Далее, по свойству биссектрисы $\frac{AB}{BC}=\frac{AL}{LC}=\frac{1}{3},$

то есть AB в три раза меньше чем CB, а тогда 

$AB^2=\frac{4x^2}{3}.$

Остается воспользоваться чудесной формулой Стюарта

$BL^2=\frac{BC^2\cdot AL+AB^2\cdot LC}{AL+LC}-AL\cdot LC;$

$25=\frac{12x^3+4x^3}{4x}-3x^2=x^2;\ x=5;\ AC=20;\ BC=10\sqrt{3};\ AB=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

Замечание. Тому, кто не знает формулу Стюарта и не желает ее освоить, можно только посочувствовать. Ему, скорее всего, придется дважды воспользоваться теоремой косинусов, после чего избавиться от косинусов.