Question

в треугольнике abc проведена медиана bm.Прямая проходящая через точку A,пересекает медиану в точке K,а сторону BC-в точке D,при этом BK:KM=3:2.Найти отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольник KDCM

Answer 1

Как известно, медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (у них общая высота и равные основания). Площадь BAK равна 3/5 площади BAM (у них общая высота, а сторона BK по условию относится к стороне BM как 3/5). 

Чтобы узнать, какую часть площади треугольника MCB составляет площадь четырехугольника KDCM, найдем, какую часть площади треугольника MCB составляет площадь треугольника DBK. Для этого воспользуемся теоремой Менелая, применив ее к треугольнику CBM и прямой DK:

$\frac{CA}{AM}\cdot \frac{MK}{KB}\cdot \frac{BD}{DC}=1;\ \frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{BD}{DC}=1;\ \frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}.$

Далее, $\frac{S_{DBK}}{S_{CBM}}= \frac{\frac{1}{2}DB\cdot BK\cdot \sin DBK}{\frac{1}{2}CB\cdot BM\sin CBM}= \frac{3\cdot 3}{7\cdot 5}=\frac{9}{35}.$

Поэтому $\frac{KDCM}{S_{CBM}}=\frac{26}{35};\ \frac{S_{ABK}}{S_{KDCM}}=\frac{3/5}{26/35}=\frac{21}{26}.$

Ответ: $\frac{21}{26}$