Question

докажите тождество 1-cos2a+sin2a/1+cos2a+sin2a

Answer 1

Что нужно знать:
1) Косинус двойного угла
   $cos2 \alpha =cos^2 \alpha -sin^2 \alpha$;
2)Синус двойного угла
   $sin2 \alpha =2sin \alpha cos \alpha$;
3)Основное тригонометрическое тождество
   $sin^2 \alpha +cos^ \alpha =1$;
Перейдем непосредственно к доказательству тождества.
$\frac{1-cos2 \alpha +sin2 \alpha }{1+cos2 \alpha +sin2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha +cos^ \alpha -(cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)+2sin \alpha cos \alpha }{sin^2 \alpha +cos^ \alpha +cos^2 \alpha -sin^2 \alpha+2sin \alpha cos \alpha} =\\\\= \frac{sin^2 \alpha +cos^ \alpha -cos^2 \alpha +sin^2 \alpha+2sin \alpha cos \alpha }{sin^2 \alpha +cos^ \alpha +cos^2 \alpha -sin^2 \alpha+2sin \alpha cos \alpha} =\frac{2sin^2 \alpha+2sin \alpha cos \alpha }{2cos^ \alpha +2sin \alpha cos \alpha}=$
$=\frac{2(sin^2 \alpha+sin \alpha cos \alpha) }{2(cos^ \alpha +sin \alpha cos \alpha)}= \frac{sin^2 \alpha+sin \alpha cos \alpha }{cos^ \alpha +sin \alpha cos \alpha}= \frac{sin \alpha(sin \alpha +cos \alpha )}{cos\alpha (cos \alpha +sin \alpha )}= \\\\= \frac{sin \alpha}{cos\alpha }= tg \alpha$
ч.т.д.