Question

Найти площадь фигуры ограниченной функцией

Answer 1

1. y = x² + 6x + 8 = (x + 3)² - 1
График функции - квадратичная парабола с вершиной в точке (-3; -1).
Ветви направлены вверх. Пересечение с осями
OX:  y = 0;
        (x + 3)² - 1 = 0  ⇒ (x + 3)² = 1
        1) x + 3 = 1         2)  x + 3 = -1
            x₁ = -2                  x₂ = -4
OY: x = 0;       y = 0² + 6*0 + 8 = 8

2.  x + y = -2   ⇒    y = - x - 2
График функции - прямая линия. Пересечение с осями 
x = 0; y = -2
y = 0; x = -2

3.  Точки пересечения графиков
x² + 6x + 8 = -x - 2
x² + 7x + 10 = 0
D = 7² - 4*10 = 9 = 3²
x₁ = (-7 - 3)/2 = -5;     x₂ = (-7 + 3)/2 = -2
y₁ = -(-5) - 2 = 3;         y₂ = -(-2) - 2 = 0

4.  Область интегрирования D
     по оси OX:   -5 ≤ x ≤ -2
     по оси OY:  от параболы   y=x²+6x+8  до прямой  y=-x-2

5.  
$S = \int\limits^{-2}_{-5} \, dx \int\limits^{-x-2}_{x^2+6x+8} \, dy$
Вычисление интеграла во вложении

Ответ: площадь равна   4,5