Question

y=1/1-x^2 Помогите исследовать функцию и построить график

Answer 1

Исследовать функцию и построить график $y = \frac{1}{1- x^{2}}$

1) Область определения функции
$1- x^{2} \neq 0 \\ x \neq \pm 1$

2) Точки пересечения графика функции с осью OY
$y (0) = \frac{1}{1- 0^{2}} = 1$  точка пересечение (0; 1)

3) Исследуем функции на четность

$y(-x) = \frac{1}{1- (-x)^{2}} = \frac{1}{1- x^{2}}$

Так как $f(-x) = f(x)$ , то функция является четной

4) Функция имеет две точки разрыва -1 и 1 , поэтому график функции имеет две вертикальные асимптоты  х =-1 и х =1.

Найдем наклонные асимптоты $y = k*x + b$  , где

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{x(1-x^2)} = \frac{1}{ \infty} = 0$

Так как k=0, то наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные. 

Найдем теперь коэффициент b.

$b= \lim_{x \to \infty} [f(x)-kx] = \frac{1}{1- x^{2}} = \frac{1}{ \infty} = 0$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу y = kx + b, получаем, что y = 0​ - горизонтальная асимптота.

5) Найдем экстремумы функции. Для это найдем производную y' и приравняем ее к нулю y' = 0

 $y' = (\frac{1}{1- x^{2}})' = \frac{1' * (1- x^{2} ) - 1*(1-x^2)'}{(1- x^{2} )'} = \frac{2x}{(1-x^2)^2}$

Тогда

$\frac{2x}{(1-x^2)^2} = 0 \ \Rightarrow \ x =0$

Получилась одна критическая точка.

6) Найденные точки разрыва и точки экстремума, разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак производной (у') на каждом интервале.

 x         x<-1       -1<x<0      0             0<x<1     x>1

y'          -             -                0             +             +

y         убыв.     убыв.        1             воз.        воз.

В точке экстремума (х=0) производная меняет знак с "-" на "+"  значит это точка минимума.
 

7)  Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную

$y'' = ( \frac{2x}{(1- x^{2} )^2} )' = \frac{2(1- x^{2} )+8 x^{2} }{(1- x^{2} )^3} = \frac{2+6 x^{2} }{(1- x^{2} )^3}$

Решаем методом интервалов

$\frac{2+6 x^{2} }{(1- x^{2} )^3} =0$

$2(1- x^{2} )+8 x^{2} = 0 \ \bigcup \ }{(1- x^{2} )^3 \neq 0$

Корней нет, значит точек перегиба нет  и   $x \neq \pm1$

Отмечаем на числовой прямой все найденные точки разрыва и критические точки , в нашем случае это точки –1; 0 ; 1.

Методом интервалов определяем знаки  $f''(x)$  на полученных интервалах. 

Интервал X < -1 ,

  f''(x) = "–"  < 0 - график функции   является выпуклым на данном интервале;

 Интервал – 1 < X < 1 ,

  f''(x) = "+"  > 0 - график функции   является вогнутым на данном интервале;

Интервал X > 1 ,

  f''(x) = "–"  < 0 - график функции   является выпуклым на данном интервале;

 

8) Построим график функции. Данные для построения и сам график, представлены ниже