Question

Дано натуральное число n.На доске выписаны все натуральные числа ,не превосходящие 50n. Затем с доски стерли все числа ,делящиеся на 50.Докажите ,что сумма оставшихся чисел будет квадратом натурального числа .

Answer 1

Сумма всех чисел, выписанных на доске, - это сумма натуральных чисел от 1 до 50n:
$S_1 = 1 + 2 + ... + 50n = \frac{50n(50n + 1)}{2}$

Стерли числа, делящиеся на 50. Это числа 50, 50*1, 50*2, ..., 50n. Их сумма:
$S_2 = 50+50*1+50*2 + ... + 50n =50 (1 + 2 + ... + n) = \frac{50n(n+1)}{2}$

Сумма оставшихся на доске чисел:
$S = S_1 - S_2= \frac{50n(50n+1)}{2} - \frac{50n(n+1)}{2} =...=25*49*n^2=5^2 7^2 n^2,$
что есть квадрат натурального числа 35n.