Question

Какое решение имеет xyy'=1+y^2

Answer 1

$xyy'=1+y^2|*\frac{dx}{x(1+y^2)}\\\frac{ydy}{1+y^2}=\frac{dx}{x}\\\frac{1}{2}\int\frac{d(1+y^2)}{1+y^2}=\int\frac{dx}{x}\\\frac{1}{2}ln|1+y^2|=ln|x|+C|*2\\ln|1+y^2|=2ln|x|+C'\\ln|1+y^2|-ln|x^2|=ln|C'|\\ln|\frac{1+y^2}{x^2}|=ln|C'|\\\frac{1+y^2}{x^2}=C'$
Прим.:С' - это тоже константа, но отличная от исходной С, грубо говоря C'=2C.

Также при делении возможно теряются решения:
$1+y^2=0\\y^2=-1\\y=^+_-i\\y'=0\\x*(^+_-i)*0=1-1\\0=0$
Да, это тоже решения, но отдельно указывать их не нужно, т.к. эти решения входят в общий интеграл при С=0.