Question

Помогите решить интеграл под галочкой, ответ есть

Answer 1

$\int\limits { \dfrac{x^4+4x^2-15}{2x^4} }\mathrm{arctg}(x^2-2) \, dx = \\\ = \dfrac{1}{2} \int\limits {( 1+ \dfrac{4}{x^2}-15x^{-4}) }\mathrm{arctg}(x^2-2) \, dx = \\\ =\left\ \textless \ \ \begin{array}{l} u=\mathrm{arctg}(x^2-2) \\ du= \dfrac{2x}{1+(x^2-2)^2}dx \\ dv=( 1+\dfrac{4}{x^2}-15x^{-4})dx \\ v=x- \dfrac{4}{x}- \dfrac{15x^{-3}}{-3}= x- \dfrac{4}{x}+ \dfrac{5}{x^3} \end{array}\right\ \textgreater \ =$
$= \frac{1}{2} \left(x- \frac{4}{x}+ \frac{5}{x^3} \right)\mathrm{arctg}(x^2-2)- \frac{1}{2} \int\limits {\left(x- \dfrac{4}{x}+ \dfrac{5}{x^3} \right)\dfrac{2x}{1+(x^2-2)^2}dx}= \\\ =\frac{x^4-4x^2+5}{2x^3} \mathrm{arctg}(x^2-2)- \dfrac{1}{2} \int\limits { \dfrac{x^4-4x^2+5}{x^3} \cdot \dfrac{2x}{1+x^4-4x^2+4}dx}= \\\ =\dfrac{x^4-4x^2+5}{2x^3} \mathrm{arctg}(x^2-2)- \dfrac{1}{2} \int\limits { \dfrac{x^4-4x^2+5}{x^3} \cdot \dfrac{2x}{x^4-4x^2+5}dx}=$
$=\dfrac{x^4-4x^2+5}{2x^3} \mathrm{arctg}(x^2-2)- \dfrac{1}{2} \int\limits { \dfrac{2x}{x^3} dx}= \\\ =\dfrac{x^4-4x^2+5}{2x^3} \mathrm{arctg}(x^2-2)- \int\limits { \dfrac{dx}{x^2} } \\\ =\dfrac{x^4-4x^2+5}{2x^3} \mathrm{arctg}(x^2-2)+ \dfrac{1}{x}+C$