Question

Помогите пожалуйста.
Решить дифференциальное уравнение

Answer 1

Полагаю, в задании описка: первый y должен быть со штрихом. 
$y'+3 \frac{y}{x} =x^3$
Выполняем замену:
$y=uv\\y'=u'v+uv'$
Подставляем в исходное уравнение:
$u'v+uv'+3 \frac{uv}{x} =x^3\\\\v(u'+\frac{u}{x})+uv'=x^3$
Разбиваем на систему уравнений:
$\left \{ {{u'+\frac{3u}{x}=0 \ (1)} \atop {uv'=x^3\ (2)}} \right. \\\\ (1)u'=-\frac{3u}{x}\\\\ \frac{du}{dx} =-\frac{3u}{x}\\\\\frac{du}{u} =-3\frac{dx}{x}\\\\ \int \frac{du}{u} =-3 \int \frac{dx}{x}\\\\lnu=-3lnx\\lnu=ln \frac{1}{x^3} \\u=\frac{1}{x^3} \\\\(2): \frac{1}{x^3} \frac{dv}{dx} =x^3\\\\ dv= x^6dx\\ \int dv= \int x^6dx\\v= \frac{x^7}{7} +C$
u и v найдены, выполним обратную замену y=uv:
$y= \frac{1}{x^3} ( \frac{x^7}{7} +C)$