Question

найти предел функции

Answer 1

Воспользуемся формулой тангенса половинного угла: tg(x / 2) = sin(x) / (1 + cos x)
$\displaystyle\lim_{x\to1} (1-x)\mathop{\mathrm{tg}}\dfrac{\pi x}2=\lim_{x\to1}\frac{(1-x)\sin \pi x}{1+\cos \pi x}=\left[\begin{array}{c}t=\pi(1-x)\\t\to0\end{array}\right]=\\=\lim_{t\to0}\frac{t\sin(\pi-t)}{\pi(1+\cos(\pi-t))}=\lim_{t\to0}\frac{t\sin t}{\pi(1-\cos t)}=\dots$

Известно, что $\sin x\sim x$, $\cos x\sim 1-x^2/2$ при $x\to0$. Заменяем функции на эквивалентные:

$\displaystyle\dots=\lim_{t\to0}\frac{t\cdot t}{\pi\cdot t^2/2}=\lim_{t\to0}\frac{2t^2}{\pi t^2}=\frac2\pi$