Question

Помогите решить дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка: xy''+y'=2x³. Буду очень благодарна

Answer 1

$\displaystyle xy''+y'=2x^3\\z=y';z'=y''\\xz'+z=2x^3\\z=uv;z'=u'v+v'u\\xu'v+xv'u+uv=2x^3\\xu'v+u(xv'+v)=2x^3\\\begin{cases}xv'+v=0\\u'v=2x^2\end{cases}\\\frac{xdv}{dx}+v=0|*\frac{dx}{xv}\\\frac{dv}{v}+\frac{dx}{x}=0\\\frac{dv}{v}=-\frac{dx}{x}\\\int\frac{dv}{v}=-\int\frac{dx}{x}\\ln|v|=-ln|x|\\v=\frac{1}{x}\\\frac{du}{xdx}=2x^2|*xdx\\du=2x^3dx\\\int du=2\int x^3dx\\u=\frac{x^4}{2}+C_1\\z=y'=\frac{x^3}{2}+\frac{C_1}{x}\\y=\int(\frac{x^3}{2}+\frac{C_1}{x})dx=\frac{x^4}{8}+C_1ln|x|+C_2$