Question

Решите пожалуйста
В правильном тетраэдре ABCD точка К является серединой ребра АС.Найдите угол между прямой ВК и плоскостью BDC

Answer 1

Определение 1:  
Правильный тетраэдр - это тетраэдр,  у которого все грани - правильные треугольники.  
Определение 2:
Угол между скрещивающимися прямыми a и b — это угол между пересекающимися прямыми a′ и b′, такими, что a′ || a  и  b′|| b. 
--------------
Примем длину ребра тетраэдра  равной а.  
Проведем КM || CD 
Угол КМА - искомый.  
КM - средняя линия треугольника BCD ⇒ 
KM=CD/2=a/2 
DK=KB  
Соединим А и К.  
АК и АМ -медианы ( и высоты) правильных  треугольников АВD и АВС 
АК=АМ=(а√3):2 
По т.косинусов 
АК²=АМ²+КM²-2*KМ*AМ*cos∠КМА 
АК² -АМ²-КM² = -2*АМ*КМ*cos∠КМА 
(a√3/2)²-(a√3/2)²-(a/2)²= - a*(а√3):2)*cos∠KMA 
-(а/2)²=- a*(а√3):2)*cos∠KMA= 
а²/4= (а²√3):2)*cos∠KMA 
cos∠KMA=а²/4: (а²√3):2 
cos∠KMA=1:(2√3)=√3/6≈0,2886 
∠KMA= ≈73º13'