Question

Решите уравнение (a+1)31+(a+1)30(a-1)+(a+1)29(a-1)2+…+(a+1)2(a-1)29+(a+1)(a-1)30+(a-1)31=0.

Answer 1

Подстановка a = 1 превращает уравнение в неверное равенство 2^31 = 0, поэтому a = 1 – не корень. Разделим уравнение на (a - 1)^31 ≠ 0:
$\left(\dfrac{a+1}{a-1}\right)^{31}+\left(\dfrac{a+1}{a-1}\right)^{30}+\left(\dfrac{a+1}{a-1}\right)^{29}+\dots+\left(\dfrac{a+1}{a-1}\right)+1=0$

В левой части стоит сумма 32 членов геометрической прогрессии с знаменателем (a + 1)/(a - 1). По формуле суммы первых членов геометрической прогрессии
$\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a-1}\right)^{32}-1}{\left(\dfrac{a+1}{a-1}\right)-1}=0\\ \left(\dfrac{a+1}{a-1}\right)^{32}=1\\ \dfrac{a+1}{a-1}=\pm1$

1) (a + 1)/(a - 1) = 1
2 = 0 
нет решений

2) (a + 1)/(a - 1) = -1
a + 1 = 1 - a
a = 0

На всякий случай проверим a = 0:
$1-1+1-1+1-1+\dots+1-1=0\\ 0=0$

Ответ. a = 0