Question

Даю 30 баллов: Найти производную данных функций:
1. y= квадратный корень из arcctg(x/2)
2. y= ln квадратный корень (1+x^2)/(1-x^2)
3. y= ln x^ (1/x)
Данные функции представлены на фото ниже

Answer 1

$y= \sqrt{arctg \frac{x}{2} } ; y'(x)=(\sqrt{arctg \frac{x}{2} })|^{'}_{x} =(\sqrt{arctg \frac{x}{2} })|^{'}_{arctg \frac{x}{2}}}*(arctg \frac{x}{2})|^{'}_{x}= \\ = \frac{1}{2} (arctg \frac{x}{2}})^{- \frac{1}{2}}* (arctg \frac{x}{2})|^{'}_{ \frac{x}{2} }*( \frac{x}{2} )|^{'}_{x}= \\ = \frac{1}{2 \sqrt{arctg \frac{x}{2} } } * \frac{1}{1+( \frac{x}{2})^2 } * \frac{1}{2} = \\ = \frac{1}{ \sqrt{actg \frac{x}{2} }(4+ x^{2} ) }$
2)
$y=lnx^{ \frac{1}{x}}= \frac{1}{x}lnx \\ y'(x)= ( \frac{1}{x})'*lnx+ \frac{1}{x}(lnx)' = -\frac{lnx}{ x^{2} } + \frac{1}{x} * \frac{1}{x}= -\frac{lnx}{ x^{2} } + \frac{1}{ x^{2} }= \\ = \frac{1-lnx}{ x^{2} }$
3)
$y=ln \sqrt{ \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}} }= \frac{1}{2} ln \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}} = \frac{1}{2} (ln(1+x^{2})-ln(1-x^{2})) (ln(1+x^{2}))|^{'}_{x}=(ln(1+x^{2}))|^{'}_{1+ x^{2} }*(1+x^{2})|^{'}_{x}= \frac{1}{1+x^{2}} *2x= \frac{2x}{1+x^{2}} \\ (ln(1-x^{2}))|^{'}_{x}=(ln(1-x^{2}))|^{'}_{1- x^{2} }*(1-x^{2})|^{'}_{x}= \frac{1}{1-x^{2}} *(-2x)= -\frac{2x}{1-x^{2}} \\ y'(x)= \frac{1}{2}( \frac{2x}{1+x^{2}}-(-\frac{2x}{1-x^{2}}))=x( \frac{1}{1+ x^{2} } + \frac{1}{1- x^{2} } )= \frac{2x}{1-x^{4}}$