Question

помогите, пожалуйста, нужно найти d (DC1, B1D1) = ... (с подробным доказательством( опираясь на признаки, свойства и прочее))

Answer 1

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁
Найти расстояние между диагоналями граней B₁D₁ и DС₁=m

m - диагональ квадрата ⇒ сторона квадрата (ребро куба)
a = m/√2
Прямая DC₁ лежит в плоскости  DD₁C₁C, а прямая B₁D₁ пересекает эту плоскость в точке D₁ ⇒  прямые  DC₁ и B₁D₁ - скрещивающиеся 
Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно построить плоскость, проходящую через одну из прямых, параллельную другой прямой, затем найти расстояние между прямой и плоскостью

BD║B₁D₁ - диагонали параллельных граней куба и 
BD лежит в плоскости  BDС₁  ⇒  B₁D₁║(BDС₁)
Так как прямая параллельна плоскости, то расстояние от каждой точки прямой до плоскости - величина постоянная, это и будет расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

ΔBDС₁: BD = BC = DС₁ = m  - это диагонали граней-квадратов куба.
⇒ ΔBDС₁ - равносторонний ⇒
Высота MС₁=m*sin60° = m*√3/2
Высота в равностороннем треугольнике - она же и медиана ⇒
BM = MD = m/2

ΔMKС₁ - прямоугольный: ∠MKC = 90°
катет  MK = a = m/√2
катет  KС₁ = MD = m/2
гипотенуза MС₁ = m*√3/2
высота  KN: из формул площади прямоугольного треугольника
$S_{MKC_1}= \frac{1}{2} MK*KC_1= \frac{1}{2} MC_1*KN$
$KN = \frac{MK*KC_1}{MC_1} = \\ \\ =\frac{m }{ \sqrt{2} } * \frac{m}{2} : \frac{m \sqrt{3} }{2} = \frac{m^2}{2 \sqrt{2} } * \frac{2}{m \sqrt{3} } = \frac{m}{ \sqrt{6} }$
KN = FP = m/√6 - расстояние между диагоналями смежных граней куба

Answer 2

ребро куба - а = m/√2
пусть А - начало координат.
ось X - AB
ось Y - AD
ось Z - AA1

вектора
В1С1 (0;a;0)
DC1 ( a;0;a)
B1D1(-a;a;0)

d (DC1;B1D1) = | B1C1 * DC1xB1D1 | / | DC1xB1D1 | = a^3 / √(a^4+a^4+a^4)=a/√3 = m/√6