Question

для функции f найти первообразную F(x), принимающую заданное значение в указанной точке:
а)f(x)=1-2sin^2 x/2, F(Pi/2)=15
б)g(x)=1/(x/2+3)^3, G(-4)=3

Answer 1

$1)\; \; F(x)=\int (\underbrace {1-2sin^2 \frac{x}{2}}_{cos(2\cdot \frac{x}{2})})dx=\int cosx\, dx=sinx+C\\\\F(\frac{\pi}{2})=15\; ,\; \; F(\frac{\pi}{2})=sin\frac{\pi}{2}+C=1+C=15\; \to \; C=14\\\\\underline {F(x)=sinx+14}$

$2)\; \; G(x)=\int \frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^3}dx=2\cdot \frac{(\frac{x}{2}+3)^{-2}}{-2}+C=-\frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^2}+C\\\\G(-4)=3\; ,\; \; G(-4)=- \frac{1}{(-2+3)^2}+C=-1+C=3\; \to \; C=4\\\\\underline {G(x)=- \frac{1}{( \frac{x}{2}+3)^2}+4}$