Question

Чему равна площадь треугольника ABC (см. рис. 38, 39, 40)?

Answer 1

Рис. 38)
sin A = sin(BCD) = √5/4.
cos A = √(1 - (5/16)) = √11/4.
h = CD = √5*cos A = √55/4.
S = (1/2)*h*AB = (1/2)*(√55/4)*4 = √55/2.

Рис. 39)  
sin 150°/√7 = sin B/√3.
sin B = √(3/7)*sin 150° = √(3/7)*(1/2) ≈  0,654654.
Угол В = arc sin  0,654654 =  40,89339 градусов.
Угол С = 180 - 120 - 40,89339 =  19,10661 градусов.
sin C =  0,327327.
S = (1/2)*√7*√3*(0,327327) =  0,75.


Рис. 40)  
Пусть центр вписанной окружности радиусом r - точка О.
Заданный треугольник разобьём на 5 треугольников:
АОВ = (АОД + ВОЕ), ДОС = ОСЕ.
S(АОВ + (АОД + ВОЕ)) = 14*√3 ≈  24,24871.
DC = СЕ = r*tg((180-120)/2) = √3*(1/√3) = 1.
S(ДОС + ОСЕ) = √3*1 = √3 ≈  1,732051.
S(ABC) =  24,24871 +  1,732051 =  25,98076.