Question

Помогите пожалуйста. Даю 60 баллов! С подробным решением.
N1
Докажите, что F(x) является первообразной для f(x).
N2
Вычислить неопределённый интеграл.

Answer 1

1) Если   $F'(x)=f(x)$  , то F(x) - первообразная для f(х).

$a)\; F(x)=3x^4+2sinx\; ,\; \; F'(x)=3\cdot 4x^3+2\cdot cosx=12x^3+2cosx\\\\f(x)=12x^3+2cosx\ne 12x^3-2cosx\\\\b)\; \; F(x)=4tgx+3\sqrt{x}\\\\f'(x)=4\cdot \frac{1}{cos^2x}+3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{4}{cos^2x}+\frac{3}{2\sqrt{x}}=f(x)\\\\c)\; \; F(x)=\frac{5}{x}-4sin(6-2x)\\\\F'(x)=- \frac{5}{x^2}-4\cdot cos(6-2x)\cdot (-2)=-\frac{5}{x^2}+8\cdot cos(6-2x)=f(x)$

В примере а)  ошибка в записи f(x) или F(x), так как не соблюдается равенство  $F'(x)=f(x)$  .

$2)\; a)\; \int \frac{2}{sin^2x}\, dx=2\cdot (-ctgx)+C=-2ctgx+C\\\\b)\; \; \int \frac{-4}{(3x-2)^2}\, dx=[\, t=3x-2\; ,\; dt=3dx,\; dx=\frac{dt}{3}\, ]=\\\\=-4\cdot \frac{1}{3}\int \frac{dt}{t^2} =- \frac{4}{3}\cdot \int t^{-2}dt=-\frac{4}{3}\cdot \frac{t^{-1}}{-1}+C= \frac{4}{3\cdot (3x-2)} +C\\\\c)\; \; \int (\frac{x}{3}-5)^4dx=[\, t=\frac{x}{3}-5,\; dt=\frac{dx}{3}\; ,\; dx=3\, dt\, ]=\\\\=3\cdot \int t^4\, dt=3\cdot \frac{t^5}{5}+C= \frac{3\cdot (\frac{x}{3}-5)^5}{5}+C$