Question

Найти определенный интеграл: интеграл от П до 0 выражения (х-3)*sin2xdx

Answer 1

$\int\limits^{\pi}_0 (x-3)sin2x\, dx=[\; u=x-3\; ,\; du=dx\; ,\; dv=sin2x\, dx\; ,\\\\v=-\frac{1}{2}cos2x\, ]=- \frac{1}{2}\cdot (x-3)cos2x\Big |_0^{\pi }+\frac{1}{2}\cdot \int\limits^{\pi }_0 \, cos2x\, dx=\\\\=-\frac{1}{2}\cdot (\pi -3)\underbrace {cos2\pi }_{1}+\frac{1}{2}\cdot (0-3)\underbrace {cos0}_{1}+\frac{1}{4}sin2x\Big |_0^{\pi }=\\\\=-\frac{1}{2}\cdot (\pi -3)-\frac{3}{2}+\frac{1}{4}(\underbrace {sin2\pi -sin0}_{0})=-\frac{1}{2}\cdot (\pi -3-3)=\\\\=-\frac{1}{2}\cdot (\pi -6)=3-\frac{\pi }{2}$