Question

Вычислите cos угла А если А(2;0) В(1;7) С(-2;4)

Answer 1

А(2;0) В(1;7) С(-2;4)
1 способ по теореме косинусов
$AB= \sqrt{(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2} = \\ \\ = \sqrt{(1-2)^2+(7-0)^2} = \sqrt{50} =5 \sqrt{2} \\ \\ BC= \sqrt{(X_C-X_B)^2+(Y_C-Y_B)^2} = \\ \\ = \sqrt{(-2-1)^2+(4-7)^2} = \sqrt{18} =3 \sqrt{2} \\ \\ AC= \sqrt{(X_C-X_A)^2+(Y_C-Y_A)^2} = \\ \\ = \sqrt{(-2-2)^2+(4-0)^2} = \sqrt{32} =4 \sqrt{2}$
Теорема косинусов
$BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cosA \\ \\ 18=50+32-2*5 \sqrt{2} *4 \sqrt{2} cosA$
80cos∠A=64
cos∠A = 0,8

2 способ через скалярное произведение векторов
$\vec {AB} (X_B-X_A;Y_B-Y_A); \vec {AB}(-1;7) \\ \\ \vec {AC}(X_C-X_A;Y_C-Y_A); \vec{AC}(-4;4) \\ \\ cosA= \frac{\vec{AB}* \vec{AC}}{|\vec {AB}|*|\vec {AC}|} = \\ \\ =\frac{(-1)*(-4)+7*4}{ \sqrt{(-1)^2+7^2} \sqrt{(-4)^2+4^2} } = \frac{32}{40} =0,8$

Ответ: cos∠A = 0,8