Question

решите пожалуйста $\int\ tg^2(2+x) dx$

Answer 1

∫tg²(2+х)dх=   используем определение тангенса
∫sin²(2+х)dх/cos²(2+х)=     используем основное тригоном. тождество
∫(1-cos²(2+х))dх/cos²(2+х)=    поделим почленно числит. на знаменатель
∫(1/cos²(2+х)-1)dх=     разобьём на два интеграла
∫(1/cos²(2+х)dх-∫dх=     воспользуемся таблицей интегралов
tg(2+х) -х+С.

Answer 2

$\int\limits {tg^{2}}(2+x) \, dx$

Используем вот это тождество: $tg^{2}(x)=-1+sec^{2}(x)$
$= \int\limits {x} -1+sec^{2}(2+x) dx=-\int\limits 1dx+\int\limits sec^{2}(2+x)dx$

Далее упрощаем интеграл константы:
$\int\limits 1dx=x$

Далее через подстановку (u=2+x):
$\int\limits sec^{2}(2+x)dx = \int\limits sec^{2}(u)du=tg(u)$

Обратная замена:
$=tg(2+x)=-x+tg(2+x)$

Добавляем константу и получаем ответ:
$-x+tg(2+x)+C$