Question

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) углы при основании равны по 30 градусов. Высота, опущенная на основание, равна 3. Найти ВО, где О - точка пересечения прямой, содержащей высоту, с серединным перпендикуляром к боковой стороне.

Answer 1

так как сумма всех углов треугольника - 180°, то третий угол при вершине В равен 120°. Так как треугольник равнобедренный, то высота из вершины В является и медианой, и биссектрисой, т.е. высота делит треугольник на два равных треугольника с углами 30°, 90° и 60°. Так как высота является катетом прямоугольного треугольника и лежит против угла 30°, то она является половиной гипотенузы, т.е. АВ= 6 см. 
Также высота является серединным перпендикуляром основания треугольника. Точка О - точка пересечения серединных перпендикуляров, а значит является центром описанной окружности с радиусом ВО. По теореме синусов 2R= a/sinA, т.е. 2ВО=АВ/sin30°. Отсюда ВО= 6 см