Question

Найти dy/dx и d^2y/dx^2 для заданных функций: а) y=xe^-x^2; б)x=lnt; в) y=1/2(t+1/t)

Answer 1

1) $y=x*e^{-x^2}$
$\frac{dy}{dx}=1*e^{-x^2}+x*e^{-x^2}*(-2x)=(1-2x^2)e^{-x^2}$
$\frac{d^2y}{dx^2} =(-4x)e^{-x^2}+(1-2x^2)e^{-x^2}*(-2x)=(-4x-2x+4x^3)e^{-x^2}= \\ =(4x^3-6x)e^{-x^2}=2x(2x^2-3)e^{-x^2}$

2) Функция задана параметрически
{ x = ln t
{ y = 1/2*(t+1/t)
Берем производные по параметру t:
{ x' = 1/t
{ y' = 1/2*(1 - 1/t^2) = (t^2 - 1)/(2t^2)
Первая производная:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y'}{x'} = \frac{t^2-1}{2t^2} : \frac{1}{t} = \frac{t^2-1}{2t}$
Берем вторые производные по параметру t:
{ $x'' =- \frac{1}{t^2}$
{ $y'' = \frac{2t*2t^2-(t^2-1)*4t}{4t^4}= \frac{4t}{4t^4} = \frac{1}{t^3}$
Вторая производная:
$\frac{d^2y}{d^2x} = \frac{y''*x'-x''*y'}{(x')^3} = (\frac{1}{t^3}* \frac{1}{t}+ \frac{1}{t^2}* \frac{t^2-1}{2t^2}):( \frac{1}{t} )^3= \frac{2+t^2-1}{2t^4}*t^3= \frac{t^2+1}{2t}$