Question

Для функции f(x)=cos3x найти (Δf(x0))/(Δx) . (-дельта эф от икс нулевого делить дельта икс)

Answer 1

$f(x) = cos3x \:\:\:\: f(x_0) = cos(3x_0) \:\:\:\: f(x_0+\Delta x) = cos(3(x_0+\Delta x)) \\ \\ \Delta f(x_0) = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) = cos(3(x_0+\Delta x)) - cos(3x_0)$

Всё готово, чтобы вычислить $\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$. Вычисляется с помощью предела, т.к. Δx→0:

$\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{{\Delta x} \to \inft0} \frac{cos(3(x_0+\Delta x)) - cos(3x_0)}{\Delta x} = \\ \\ = -2\lim_{{\Delta x} \to \inft0} \frac{sin \frac{3(x_0+\Delta x) +3x_0}{2} *sin \frac{3(x_0+\Delta x)-3x_0}{2} }{\Delta x} = \\ \\ = -2\lim_{{\Delta x} \to \inft0} \frac{sin[3x_0+ \frac{3 \Delta x }{2}] *sin \frac{3\Delta x}{2} }{\Delta x} =$.
$= -2 \lim_{{\Delta x} \to \inft0} \frac{sin[3x_0+ \frac{3 \Delta x }{2}] }{\Delta x} *\lim_{{\Delta x} \to \inft0} \frac{sin \frac{3\Delta x}{2}}{\Delta x} = \\ \\ = -2sin(3x_0)*\lim_{{\Delta x} \to \inft0} \frac{ \frac{3}{2} sin \frac{3\Delta x}{2}}{ \frac{3}{2} \Delta x} = -2sin(3x_0)* \frac{3}{2} = -3sin(3x_0)$

Применили формулу разности косинусов. В первом пределе Δx→0, поэтому под синусом остаётся только аргумент. Второй предел является первым замечательным пределом. Чтобы им воспользоваться, аргумент умножили на 3/2, соответственно увеличили числитель.