Question

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно 3, а сторона основания - 5. Найдите косинус угла между плоскостями ABC1 и A1B1C.

Answer 1

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
Тогда уравнение плоскости определяем по выражению:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Точка A1                  Точка B1                     Точка C
x1 y1 z1                   x2 y2 z2                     x3    y3                z3
0  0   3                       5   0   3                     2,5   4,330127     0

Уравнение плоскости  A1B1C:
0 x + 15 y + 21,65064 z - 64,9519 = 0.

Точка A             Точка B                       Точка C1 
x1 y1 z1             x2 y2  z2                    x3       y3            z3
0   0   0               5   0   0                    2,5    4,330127     3

Уравнение плоскости  ABC1:
0 x + -15 y + 21,65064 z + 0 = 0

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A1² + B1² + C1²)* √(A2² + B2² + C2²)) =
= 0.35135155.