Точка касания окружности , вписанной в равнобедренный треугольник , делит одну из боковых сторон на отрезки , равные 5,7 см и 6,4 см , считая от основания. Найдите периметр треугольника.
Ответы
Обозначим данный треугольник MNP, MN = PN.
А точки касания со сторонами MN, NP, MP - P₁, M₁, N₁ соответственно.
Тогда по условию MP₁ = 5,7см; P₁N = 6,4см.
Первый способ (симметрия):
Высота проведённая к основанию равнобедренного треугольника лежит на его оси симметрии. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является так же и высотой, откуда центр вписанной лежит на оси симметрии. Тогда весь чертёж имеет осевую симметрию, исходя из которой:
PM₁ = MP₁ и M₁N = P₁N;
- Отрезки касательных к окружности, проведённые из точки, равны между собой.
⇒ MP₁ = MN₁; PN₁ = PM₁.
P(MNP) = MN+NP+MP;
P(MNP) = MP₁+P₁N + NM₁+M₁P + PN₁+N₁M;
P(MNP) = 4·MP₁+2·P₁N;
P(MNP) = 4·5,7+2·6,4 = 22,8+12,8 = 35,6 см.
Второй способ:
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, является так же биссектрисой и медианой. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Радиус окружности проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. ⇒ NN₁ - высота △MNP, проведённая к основанию.
Тогда MN₁ = PN₁ т.к. точка N₁ - основание медианы.
- Отрезки касательных к окружности, проведённые из точки, равны между собой.
⇒ MP₁ = MN₁; NP₁ = NM₁; PN₁ = PM₁
Дальше решение аналогично предыдущему способу, начиная с "P(MNP) = MN+NP+MP".
Ответ: 35,6см.
