Question

помогите решить 4 уравнения, даю 23 балла!!

Answer 1

1) а) (x - 2)(x + 3)(x - 4) > 0
Решаем методом интервалов.
У этого неравенства есть особые точки, в которых левая часть равна 0.
x1 = -3; x2 = 2; x3 = 4
Эти точки разбивают множество всех чисел на интервалы:
(-oo; -3); (-3; 2); (2; 4); (4; +oo)
Подставляем любое число внутри любого интервала, например, 0:
(0 - 2)(0 + 3)(0 - 4) = (-2)*3*(-4) = 24 > 0 - подходит.
Значит, интервал (-3; 2), содержащий 0, является решением.
А также интервал через один от него, (4; +oo).
Ответ: x ∈ (-3; 2) U (4; +oo)

б) (x - 1)(x + 2)/(x - 5)^2 <= 0
Область определения: x ≠ 5.
(x - 5)^2 > 0 при любом x ≠ 5, умножим на эту скобку
(x - 1)(x + 2) <= 0, но помним, что x ≠ 5.
Решаем точно также, методом интервалов.
Интервалы: (-oo; -2]; [-2; 1]; [1; 5); (5; +oo)
Подставляем 0: (-1)*2/(-5)^2 = -2/5^2 < 0 - подходит.
Подставляем 3: (3-1)(3+2)/(3-5)^2 = 2*5/(-2)^2 = 10/2^2 > 0 - не подходит.
Подставляем 6: (6-1)(6+2)/(6-5)^2 = 5*8/1^2 > 0 - не подходит.
Ответ: x ∈ [-2; 1]

2) а) $\frac{2x-1}{x+3} \geq 1$
Область определения: x ≠ -3
Вычтем 1 слева и справа и приведем подобные.
$\frac{2x-1}{x+3}-1= \frac{2x-1-(x+3)}{x+3} = \frac{2x-1-x-3}{x+3} = \frac{x-4}{x+3} \geq 0$
Интервалы: (-oo; -3); (-3; 4); (4; +oo)
Подставляем 0: (0-4)/(0+3) = -4/3 < 0 - не подходит.
Ответ: x ∈ (-oo; -3) U (4; +oo)

б) $\frac{x}{x+3}- \frac{3}{x-1}+ \frac{13}{x^2+2x-3} \leq 0$
x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1), приводим к общему знаменателю:
$\frac{x(x-1)-3(x+3)+13}{(x+3)(x-1)}= \frac{x^2-x-3x-9+13}{(x+3)(x-1)} = \frac{x^2-4x+4}{(x+3)(x-1)}= \frac{(x-2)^2}{(x+3)(x-1)} \leq 0$
При x = 2 левая часть равна 0, это подходит.
При любом x ≠ 2 будет (x - 2)^2 > 0, можно разделить на эту скобку.
$\frac{1}{(x+3)(x-1)} \leq 0$
Интервалы: (-oo; -3); (-3; 1); (1; +oo).
Подставляем 0: $\frac{1}{3*(-1)} =- \frac{1}{3} \ \textless \ 0$ - подходит.
Ответ: x ∈ (-3; 1) U [2]